[Sem] Subkontrarität

[MissPeppermint]

Hallo liebe Linguistengemeinde,

bin gerade am Lernen auf die Semantik-Klausur (Einführungskurs) und mittlerweile bei den satzsemantischen Relationen angelangt.

Ein Satz A kann ja entweder
1) aus Satz B logisch folgen
2) B ausschließen - oder -
3) mit B verträglich sein.

Bzgl. der Verträglichkeit kann man wiederum zwischen Unabhängigkeit und Subkontrarität unterscheiden.
Und hier beginnt mein Problem, da mir nicht klar werden möchte, was Subkontrarität genau bedeuten soll.

Das mir vorliegende Bsp. lautet:
Einer von den Studenten ist durchgefallen.
Nicht alle von den Studenten sind durchgefallen.

Mir erschließt sich zunächst nicht, welcher dieser Sätze überhaupt subkonträr zum anderen sein soll bzw. was Subkontrarität ausmacht.

Im Einführungsbuch ist davon die Rede, dass zwei Sätze subkonträr sind, "genau dann, wenn A und B nicht gleichzeitig falsch sein können."
Genauer erklärt wird dort jedoch nicht. Und der Dozent ist auch nicht weiter darauf eingegangen.

Kann vielleicht einer von euch mich aufklären?
Wie erkenne ich Subkontrarität?

Schon im Voraus herzlichen Dank für jede Hilfe bzw. Erklärung!!
Liebe Grüße

[Pompeius3]

Mal schauen, was uns Google findet...

http://www.zeno.org/Kirchner-Michaelis-1...ntr%C3%A4r


Man stellt fest: Genauso wie unabhängig, kontradiktorisch etc. sind Sätze also subkonträr zueinander. Deine beiden Beispielsätze sind zueinander subkonträr.

Sie sind subkonträr, weil es durchaus sein kann, dass beide Sätze wahr sind: Es kann ja einer durchgefallen sein, während die übrigen bestehen. Es kann auch sein, dass einer der Sätze falsch ist: Einer der Studis ist durchgefallen und übrigens war er der einzige. Es ist also falsch, dass einige bestanden haben. Alternativ kann auch der erste Satz falsch sein, aber nicht beide - jedenfalls solange die Menge der Prüflinge nicht leer ist.

[kunnukun]

Deine beiden Beispielsätze sind zueinander subkonträr.

Ja. Nach W. K. Essler ("Einführung in die Logik", Stuttgart 1969, S. 135):
"Es gibt ein x, so dass x ist ein G" ist subkonträr zu " Es gibt ein x, so dass nicht: x ist ein G"

durchaus sein kann, dass beide Sätze wahr sind

Ja, auch das.

dass zwei Sätze subkonträr sind, "genau dann, wenn A und B nicht gleichzeitig falsch sein können."

Jedenfalls: nur dann, wenn nicht beide Sätze falsch sind. Man betrachte die Negationen:
"Es gibt kein x, so dass x ist ein G" - " Es gibt kein x, so dass nicht: x ist ein G". Umgeformt:
"Alles ist kein G" - "Alles ist ein G"
Das ist nicht miteinander verträglich. Man kann ja ein beliebiges Ding a nehmen. Auf a müsste zutreffen:
"a ist kein G" - "a ist ein G"

[MissPeppermint]

Hallo ihr beide,
habt ganz herzlichen Dank für eure Erklärungen!
Trotzdem werde ich über eure Posts nochmals meditieren müssen. Hab das traurige Gefühl, in dieser Sache an meine geistigen Grenzen zu stoßen …

Wenn es falsch ist, dass einer der Studenten durchgefallen ist – warum muss es dann notwendigerweise wahr sein, dass nicht alle Studenten durchgefallen sind?
Wenn eben nicht einer durchgefallen ist, dann könnte es doch theoretisch durchaus möglich sein, dass alle durchgefallen sind …?

Es tut mir leid, dass ich mich so blöd anstelle. Aber irgendwie will mir das Ganze nicht verständlich werden.

[kunnukun]

Wenn es falsch ist, dass einer der Studenten durchgefallen ist – warum muss es dann notwendigerweise wahr sein, dass nicht alle Studenten durchgefallen sind?

Ich weiß nicht, wo diese Formulierungen auftauchten.
Die Betonung von "einer" lässt vermuten, dass du "Es ist falsch dass einer durchgefallen ist" verstehst im Sinne von "Auf den-und-den trifft es nicht zu, dass er durchgefallen ist". Aber der Quantor ∃ wird so verwendet, dass folgende Regeln gelten, die ihr wahrscheinlich aufgeschrieben habt:
∃A (A ist irgendein Satz der betr formalen Sprache) kann man umformen in ¬∀¬ A
∀A kann man umformen in ¬∃¬ A.
Die Alltagssprache ist mit Ausdrücken wie "einer", "jemand" immer etwas unklar.

Deine Frage kann man nun so verstehen, dass du dich wunderst, dass
aus ¬∃x Gx folgt ¬∀x Gx
(Wenn die Grundmenge nicht leer ist, wovon wir ausgehen)
¬∃x Gx wird zu ∀x¬ Gx
¬∀x Gx wird zu ∃x¬ Gx

Aus "Keiner ist ein G" (¬∃x Gx oder ∀x¬ Gx)
folgt "Nicht jeder ist ein G" (¬∀x Gx oder ∃x¬ Gx)

Selbstverständlich nicht umgekehrt! Also nicht aus
"Nicht jeder ist ein G" "Keiner ist ein G" !


Manchmal erschwert einem die Alltagssprache das Verständnis. Vielleicht denkst du nun, was für Linguisten naheliegt: Mich interessiert doch gerade die Alltagssprache! Ja, und gerade da wurde Logik interessant. Denn wir schließen ja auch in der Alltagssprache. Und formale Systeme kann man u. a. auch als idealisierende Annäherungen ansehen, von denen ausgehend man dann fragen kann: Warum formulieren wir im Deutschen so-und-so?

Nun fällt mir ein, dass du in
"Wenn es falsch ist, dass EINER der Studenten durchgefallen ist – warum muss es dann notwendigerweise wahr sein, dass nicht alle Studenten durchgefallen sind?" vielleicht meinst:
Wieso folgt aus
"Auch nicht nur ein Student ist durchgefallen"
"Nicht alle Studenten sind durchgefallen"
?
Im Sinne von:
Aus
"Kein Student ist durchgefallen" folgt "Nicht alle Studenten sind durchgefallen"

Vielleicht ist es nützlich, sich von vornherein auf eine Darstellung nur mit Quantor und Negator zu beziehen.

[MissPeppermint]

Hallo und Danke!!
Ich hab's jetzt endlich verstanden – dein Tipp, die Aussagen auf ihre Quantoren (bzw. prädikatenlogische Formeln) zu reduzieren, hat mir die Augen geöffnet:

∃x[S(x) ∧ D(x)]
∃x[S(x) ∧ ¬D(x)] (mit ∃x¬ für ¬∀x)

Beides kann wahr sein, aber nicht gleichzeitig falsch, denn wenn es nicht wahr ist, dass es ein x gibt, für das gilt: x ist Student und durchgefallen; dann muss automatisch die zweite Aussage zutreffen: Es gibt ein x, für das gilt: x ist ein Student und nicht durchgefallen!

Herzlichen Dank fürs geduldige Erklären.
Wahrscheinlich stand mir da tatsächlich die Alltagssprache im Weg.

Liebe Grüße

[kunnukun]

Hallo MissPeppermint,

wie ist es denn, wenn niemand Student ist?
Dann müssten doch
∀x ¬ (Sx ∧ Dx) und ∀x ¬ (Sx ∧ ¬Dx)
(also Äquivalenzen zu den Negationen deiner beiden Formeln)
miteinander vereinbar sein, oder?

In der Alltagssprache sind Sätze "Kein Student ..." nur relevant, wenn man voraussetzt, dass da Studenten sind, auf die man sich beziehen will. Aber denkbar ist, dass es keine Studenten gibt. Habt ihr im Seminar immer nur solche Konjunktionen (...∧...) betrachtet? Man tut das oft, um an Syllogismen anzuknüpfen, glaube ich. Der oben von mir erwähnte Essler macht das nicht, sondern bleibt allgemeiner. ich will hier aber keine Verwirrung reinbringen. Wenn ihr im Beispiel von einer Studentengruppe ausgeht, ist das OK.

[MissPeppermint]

Hallo kunnukun,

hier steige ich lieber aus, denn für mich wird das wieder zu tricky …! ;)

Ja, ich nehme an, dass wir im Kurs davon ausgehen, dass die Gruppe aus Studenten besteht und nicht null ist.
Im Seminar wurden wir mit den Standard-Operatoren (¬∧∨∞→↔) vertraut gemacht. Der Dozent richtet sich an die Einführungsbücher von Chur/Schwarz und Löbner.

Liebe Grüße